Rien de plus facile que les formules binomiales !

Les formules binomiales enfin facile à comprendre et à faire !

Le mot “binomial” vient du latin et se compose de deux parties. Son préfixe “bi” signifie toujours une structure en deux parties. Le mot “nom” est un autre terme pour “noms”. Un binôme est donc une structure en deux parties, qui est reliée par un signe d’addition ou de soustraction pour former une unité.

En tant que membres (appelés dans ce sens monômes), il n’y a pas que des chiffres mais aussi des lettres, qui sont appelées variables en mathématiques.

Exemples de binômes :

Les binômes entre parenthèses avec l’exposant (exposant 2) représentent les formes de la première ou de la deuxième formule binomiale.

La troisième formule binomiale ne diffère que marginalement des deux autres formules, par exemple (a b) * (a – b). Les trois formules binomiales sont expliquées ci-dessous. Nous commençons par :

La 1ère formule binomiale

La première formule binomiale est appréciée par les étudiants pour sa simplicité. Il ne contient qu’un seul signe d’addition. Il n’y a donc aucune ambiguïté dans l’exclusion de diverses règles relatives aux signes.

Examinons la formule :

Ce qui paraît compliqué au premier abord, est facile à comprendre avec un peu de logique. Regardons la partie à gauche du signe des égaux :

(a b)² = a² 2ab b²

Cette partie représente un carré. Le nombre carré est situé au-dessus de la parenthèse. Cela signifie que le contenu total des parenthèses doit être multiplié par deux en soi. Nous connaissons cette procédure grâce au calcul de la superficie.

Supposé que vous disposez d’une pièce d’une longueur et d’une largeur de 4 mètres chacune. Pour calculer la surface, vous multipliez la longueur par la largeur : 4m * 4m = 16m². Le résultat est un carré et devant vous se trouve une pièce à la surface carrée. Ainsi, l’exposant 2 indique toujours un carré et les carrés peuvent être affichés graphiquement.

Mais qu’en est-il d’un carré au-dessus d’un crochet ? Regardez l’exemple suivant :

Nous venons de réaliser : 4m * 4m = 16m².

Cette multiplication pourrait également être représentée comme suit :

4m * 4m = (3m 1m)²  ou même (0,5m 2,5m)² et d’innombrables autres espèces. Leur forme est similaire à la 1ère formule binomiale. Dans ce qui suit, nous voulons représenter graphiquement la première formule binomiale avec a = 3m et b = 1m. La dérivation géométrique est également appelée preuve iconique.

Nous avons de nouveau une chambre. Supposons qu’il s’agisse d’une tonnelle carrée d’une longueur de 4 m. Nous voulons maintenant modifier la longueur des côtés pour qu’ils mesurent 4 m chacun, de sorte que notre carré dans la représentation

(3m 1m)² apparaît. La surface et la longueur des côtés restent les mêmes. La seule différence est que les longueurs des côtés ne sont plus de 4m mais (3m 1m).

Nous savons donc maintenant que les longueurs des côtés n’ont pas changé dans leur intégralité. Seule une fragmentation est maintenant visible. En raison de la fragmentation, la surface est maintenant de (3m 1m)².

Si vous revenez au début du sujet de la 1ère formule binomiale, vous remarquerez que nous n’avons montré que la partie gauche du signe égal de la 1ère formule binomiale. Mais comment arriver à la partie du côté droit du signe des égaux ?

(a b)² = a² 2ab b²

Il suffit de savoir comment utiliser les parenthèses. Vous pouvez ensuite changer la partie gauche en partie droite. Nous savons que l’exposant 2 signifie que la base qui le précède doit être multipliée deux fois par elle-même :

5² est donc 5 * 5

Important : si l’exposant est supérieur à une parenthèse, le contenu entier de la parenthèse est multiplié par lui-même :

5m² = 5m * m

(5m)² = 5m * 5m = 25m².

Il en va de même pour un monomère carré. Chaque somme de la première tranche est multipliée par chaque somme de la deuxième tranche. Par souci de simplification, procédez de gauche à droite. La première somme de la première tranche est multipliée par la première somme de la deuxième tranche. 

L’étape suivante est la multiplication de la première somme de la première parenthèse avec la deuxième somme de la deuxième parenthèse. Ensuite, vous multipliez la deuxième somme de la première parenthèse par la première somme de la deuxième parenthèse. Enfin, vous multipliez la deuxième somme de la première parenthèse par la deuxième somme de la deuxième parenthèse :

(a b)² = (a b) * (a b)

= a*a a*b b*a b*b I (résumé)

= a² ab ab b²

= a² 2ab b²

Le résultat obtenu représente à nouveau différents membres, les carrés apparaissant deux fois. 

Il est constitué d’un carré de la longueur du côté (a b). Si vous calculez la superficie, il y a évidemment 4 zones partielles. Voici un exemple dans lequel les longueurs des côtés sont données en cm : converties en m, les longueurs des côtés a = 3m et b = 1m. Le carré peut être calculé à partir

(3 1) * (3 1) ou déterminer à partir de 4 * 4 Nous savons donc que la superficie doit être de 16m².

Faisons le calcul :

(3 1) * (3 1) = 3*3 3*1 1*3 1*1

= 9 3 3 1

= 16

Ici aussi, on obtient une surface de 16m². Nous avons donc calculé correctement. D’après le dessin, nous pouvons maintenant voir que le premier carré est de 9m², le petit carré de 3m² et les deux zones sont chacune de 3m². De même, toutes les formules de ce type doivent être calculées :

(3m 4z)² par étapes :

  • écrivez les parenthèses l’une à côté de l’autre
  • multiplier chaque somme de la première tranche par chaque somme de la deuxième
  • résumer
  • vérifier

(3m 4z)²

= (3m 4z) * (3m 4z)(1ère étape)

= 3m * 3m 3m * 4z 4z * 3m 4z * 4z (2ème étape)

= 9m² 12mz 12mz 16z² (3ème étape)

= 9m² 24mz 16z² (à vérifier par exemple sur la base du dessin)

Un autre exemple :

(12g 0,5)²

= (12g 0,5) * (12g 0,5);allign=”center”(1ère étape)

= 12g * 12 g 12g * 0,5 0,5 * 12g 0,5 * 0,5 (2ème étape)

= 144g² 6g 6g 0,25 (3ème étape)

= 144g² 12g 0,25

La 2ème formule binomiale

La deuxième formule binomiale ressemble à la première. La seule différence est le signe de soustraction au lieu du signe d’addition :

Mais c’est précisément le signe de soustraction qui entraîne des changements sur le côté droit de la formule. Rappelons les règles du signe en rapport avec la multiplication :

“-” fois “-” égale ” ” “

“-” fois ” ” ” égal “-“

” ” fois “-” égal “-“

” ” temps ” ” donne ” ” “.

exemple (a – b)² = (a – b) * (a – b)

= a*a – a*b – a*b b*b

= a² – ab – ab b²

= a² – 2ab b²

Rappelons la formule :

(a – b)² = a² – 2ab b²

Nous voyons à nouveau deux carrés de tailles différentes et deux rectangles de la même surface. Cependant, comme il n’y a pas d’addition ici, nous devons d’abord savoir quelle partie doit être calculée dans la deuxième formule binomiale.Vous calculez la partie du graphique dans laquelle se trouve (a – b)². Notre première constatation est que le carré entier a de nouveau des côtés qui sont composés de a et de b. Pour obtenir le carré avec la désignation (a – b)², il faut soustraire les zones rectangulaires.

Si vous soustrayez maintenant les zones a*b, vous le faites deux fois, car cette zone est contenue deux fois et vous voulez obtenir (a – b)² comme zone à la fin. Mais cela entraîne une double déduction de la zone avec le contenu b². Pour obtenir réellement (a – b)², vous devez ajouter à nouveau cette zone à la fin.

Examinons des exemples de tâches. Là encore, chaque monomère de la première tranche est pris une fois avec chaque monomère de la deuxième tranche :

(2q – 5v)² = (2q – 5v) * (2q – 5v)

= 2q * 2q – 2q * 5v – 5v * 2q 5v * 5v

= 4q² – 10qv – 10qv 25v²

= 4q² – 20qv 25v²

Ou même :

(z – 7w)² = (z – 7w) * ( z – 7w)

= z * z – z * 7w – z * 7w 7w * 7w

= z² – 7wz – 7wz 49w²

= z² – 14wz 49w²

La 3ème formule binomiale

C’est la plus extraordinaire des formules binomiales. Il n’y a pas de place ici. Néanmoins, nous avons affaire à deux parenthèses à multiplier, qui ne diffèrent l’une de l’autre que par le signe arithmétique qu’elles contiennent.

Une fois de plus, nous effectuons la multiplication. Nous utilisons ici la règle bien connue : chaque sommation dans la première tranche doit être multipliée par chaque sommation dans la deuxième tranche.

Il s’ensuit donc :

(a b) * (a – b) = a²- ab – b² I (résumé)

= a² – b²

Si nous effectuons la preuve iconique de la 3ème formule binomiale, nous découvrons de sérieuses différences. Pourquoi ? Veuillez tenir compte de l’apparition du premier et du deuxième binôme. Ils se distinguent de la 3ème formule binomiale par la présence d’un carré. Leur preuve iconique nous a donc conduit directement à la représentation d’un carré et, dans ce contexte, à son calcul. Il n’y a pas de carré dans la 3ème formule binomiale. Vous êtes le produit de deux parenthèses différentes. Vous faites de même pour le calcul des rectangles. La longueur d’un rectangle ne correspond jamais à sa largeur, car il s’agirait alors d’un carré et non d’un rectangle.

Par conséquent, la représentation graphique de la 3ème formule binomiale nous amène à un rectangle avec l’aire (a b) * (a – b) et les longueurs des côtés (a b). Pour obtenir le côté (a – b), la valeur de b doit être soustraite de la longueur a :

Le grand carré (la surface totale) a des longueurs de côté a et donc une surface de A = a². Il comprend un carré plus petit avec la surface A(1) = b². Soustrayez maintenant le plus petit carré (b²) du plus grand (a²). Seule la surface est réduite, mais pas la longueur des côtés. Il en résulte deux trapèzes si on les placés l’un à côté de l’autre, ils deviennent un rectangle :Il a une longueur de côté (a b) et une longueur de côté (a – b).