Comprendre La probabilité et comment la calculer avec des exemples

Lorsque nous sortons et que nous nous préparons déjà pour un pique-nique, nous voulons bien connaître le temps qu’il fait. Nous nous demandons donc quelle est la probabilité qu’il pleuve. Quiconque a un enfant pense à la probabilité d’avoir les yeux bleus ou marrons. Peut-être pense-t-on aussi au jour de départ idéal avant le début des vacances. Quelle est alors la probabilité de ne pas se retrouver dans un embouteillage ? Ces situations proviennent de la vie quotidienne.

Cependant, les probabilités sont particulièrement populaires dans le domaine des loteries, qui impliquent la distribution de bénéfices dans la monnaie respective. Vous avez déjà joué à la loterie et vous vous demandez si un six avec un numéro supplémentaire est possible pour vous ? Le calcul n’est pas facile et nécessite une connaissance approfondie de la stochastique. Toutefois, il faut dire que vos chances de gagner sont extrêmement faibles. Vous en saurez plus sur le jeu de loto et les chances individuelles de gagner à la fin de cet article. Supposons que le nombre de possibilités de poser différentes cartes dans un jeu soit de 625. Que signifie réellement ce nombre élevé ? Il représente les moyens (en nombre) de poser les diverses cartes.

Exemple de calcul des probabilités

Commençons l’introduction par un exemple simple : vous avez une pièce de monnaie. Chaque pièce a deux faces, ce qui fait que vos chances de lancer une pièce pile ou face sont de 50 %. Les pourcentages ne sont pas courants dans le calcul de la probabilité. La probabilité est exprimée par “P”. Dans notre jeu de pièces, vous avez la probabilité suivante de lancer des têtes :

Quelle est la probabilité de tirer à pile ou face lors d’un seul tirage au sort ?

Nous supposons que le fait d’atterrir sur le bord de la pièce ne compte pas.

Supposons que vous lanciez vos dés une fois. Quelle est la probabilité de faire rouler un nombre divisible par deux ?

P = ½ = 0,5

Qu’est-ce qui vous fait penser à 3 contre 6 ? Un cube a six côtés. De chaque côté se trouve un nombre entre 1 et 6. Nous voulions connaître la probabilité de faire rouler un nombre divisible par deux. Quels sont les nombres de 1 à 6 qui sont divisibles par deux ? Correct : 2, 4 et 6. Il y a trois numéros sur six. La probabilité est donc P = 3/6 ou 0,5.

Qu’est-ce qui distingue les situations individuelles les unes des autres ? Il y a des résultats prévisibles et des résultats imprévisibles. L’imprévisible est, par exemple, le résultat d’un tirage au sort ou d’un jet de dé conventionnel. La situation est différente avec un dé dont les nombres ne sont pas divisibles par 7. Le résultat est prévisible. Il en va de même pour la question de la probabilité que le printemps succède à l’hiver. Il se situe à P = 1.

Remarque : pour déterminer la probabilité, divisez les résultats favorables de votre expérience par le nombre total de tous les événements possibles.

Si nous voulons obtenir un 5, le chiffre 5 est un événement favorable. Tous les autres chiffres ne jouent aucun rôle dans l’issue favorable (contre-événements). En revanche, vous en avez besoin si vous déterminez le nombre total de tous les résultats. Comme un dé a 6 faces, le nombre total est de 6. P = 0,83 (arrondi)

Ce que vous devez savoir : La probabilité n’est pas seulement un moyen d’exprimer des coïncidences qui finissent par ne pas se produire. Ils sont bien plus que cela et leur calcul est tout à fait raisonnable. De nombreux exemples avec répétition multiple de l’expérience respective le prouvent. Parce que : plus une expérience est réalisée avec les mêmes événements, plus on se rapproche des probabilités calculées. Qu’est-ce que cela signifie ? Supposons que vous lanciez une pièce de monnaie trois fois. Les résultats peuvent être différents : tête, tête, tête – tête, tête, queue – tête, queue, tête, queue, queue, etc. La probabilité (par rouleau) de recevoir des têtes ou des queues est P = 0,5. Si vous faites maintenant trois rouleaux et que vous recevez deux têtes et une queue, vous obtenez les probabilités P = 0,67 (arrondi) pour les têtes et 0,33 (arrondi) pour les queues. Mais notre probabilité réelle est de P = 0,5. Le secret réside dans la fréquence. Plus vous répétez la tentative (par exemple, lancer la pièce de monnaie 100 fois), plus vous constatez que les résultats sont de plus en plus dans le sens de P = 0,5. Essayez-le. N’oubliez pas de documenter vos résultats après chaque tour. À la fin, comptez toutes les sorties par tête/nombre et divisez-les par le nombre total de passages.

Après le 100e lancer, votre score pourrait ressembler à ceci : P=0,6 tête et P=0,4 queue. Mise en pratique : 60 lancers sur 100 ont fait tomber la tête, 40 lancers sur 100 ont fait tomber le numéro. Est-il maintenant possible de conclure du résultat que les queues apparaissent automatiquement à un certain intervalle ? Non ! Les résultats sont théoriques. Avec une probabilité, il y a toujours une incertitude. Sinon, la communauté des loteries serait probablement encore plus importante. Contrairement à la probabilité théorique, la probabilité statistique est basée sur l’expérience.

Probabilité globale

Avez-vous déjà joué à la roulette ? Il existe certaines règles. Les paris sont relativement gratuits. La plupart des gens parient sur le Rouge ou le Noir. Le 0 vert leur joue un rôle subalterne. Roulez. À la roulette, vous pouvez également parier sur certains numéros. Vous voulez déterminer la probabilité d’une issue favorable ? Examinons les faits à l’aide de l’exemple des dés :

Si vous roulez les chiffres 2 ou 4, votre ami vous donnera 5 euros. Quelles sont vos chances de gagner ? Ajoutez à cela les probabilités de résultats favorables :

P(2) = 1/6

P(4) = 1/6

P = 1/6 1/6 = 2/6 = 0,33 (arrondi)

La probabilité est faible. Avec 33 %, il est inférieur à 50 %. Vous ne devriez pas faire ce pari, sauf s’il s’agit d’un cube avec des poids à l’intérieur.

Des tests aléatoires en plusieurs étapes

Dans les paragraphes précédentes, nous avons mentionné le tirage au sort multiple. Nous savons quelles sont les probabilités de chacun de ces lancers. Chaque fois que l’on tire à pile ou face, on voit apparaître soit la tête, soit la queue. Pour obtenir une des queues, cette probabilité est de 50% ou P = 0,5.

Maintenant, nous ne considérons plus l’expérience individuelle. Nous allons nous concentrer sur le fait de tirer à pile ou face deux fois. Si vous tirez à pile ou face deux fois, quelle est la probabilité de tirer un chiffre dans le total ?

Nous le savons : La probabilité de têtes est de P=0,5 au premier lancer, les queues sont également vraies. Pour la deuxième tentative, le résultat est également valable, ainsi que pour la troisième et toutes les autres. Si vous voulez obtenir la probabilité totale de tous les passages, vous devez multiplier selon la règle du chemin. Considérons les chemins d’un double tirage au sort.

K est pour tête et Z est pour queue. Au premier tour, nous avons une probabilité de P = 0,5, avec laquelle nous lançons des queues. Il en va de même pour le deuxième tour. Ici, il y a plusieurs chemins. Cependant, nous nous concentrons sur le chemin qui ne considère pas la tête de sortie. Pour ce faire, nous multiplions les probabilités sur le chemin rouge, puisque vous ne portez que le Z. Nous obtenons :

P = 0,5 * 0,5 = 0,25

Selon l’arbre des résultats, la probabilité est P = 0,25. Cela est logique, car notre chemin Z est l’un des quatre chemins : S = (KK, KZ, ZK, ZZ).

Si, comme dans notre exemple, le diagramme en arbre ne consiste pas en un seul niveau (lancer un dé une fois, tirer une balle d’une urne une fois), il s’agit d’une expérience aléatoire à deux ou plusieurs niveaux. Vous pouvez voir les différents chemins dans le diagramme en arbre.

Examinons une expérience en plusieurs étapes :

Vous avez deux billets. L’un représente le profit (G), l’autre représente un perdant (N). Après en avoir tiré un, vous devez lancer un autre dé (étiquette habituelle).

Les résultats possibles lorsque G = Gain : (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6). Si vous avez dessiné N = rivet, vous obtenez les possibilités de résultats suivantes :

(N, 1), (N, 2), (N, 3), (N, 4), (N, 5), (N, 6).

Nous avons affaire à une expérience aléatoire en deux étapes, dont vous pouvez facilement déterminer le nombre de parcours. Pour cela, vous devez savoir que chaque expérience individuelle est appelée une étape. Dans notre exemple, le tirage au sort est la première étape. Dans la deuxième étape, vous lancez les dés. Lors de la première tentative, il y avait deux résultats possibles, lors de la deuxième tentative (étape), il y avait six résultats possibles. Si vous voulez maintenant calculer le nombre de parcours, vous devez multiplier le nombre d’événements par étape. Ici, il y a 2 * 6 = 12 chemins. Regardez à nouveau l’image et les chemins menant du premier point du diagramme en arbre jusqu’à la fin. Il y a exactement 12 voies.

En bref : dans une expérience aléatoire à plusieurs niveaux, vous déterminez le nombre de chemins en multipliant les résultats de chaque niveau par ceux des autres niveaux. Important : n’utilisez ce principe pour déterminer les chemins que lorsque l’ordre des résultats est important. Pour les expériences désordonnées, vous devez utiliser une approche différente.

Tentative ordonnée avec remise en place

Une expérience ordonnée avec retour en arrière nécessite un calcul différent de celui des expériences ordonnées sans retour en arrière. Nous avons déjà expliqué les règles du cheminement du procès ordonné avec un retour en arrière. Maintenant, ne calculons pas les chemins possibles. Concentrons-nous sur les probabilités d’une expérience ordonnée de suivi. Le nombre de probabilités est facile à calculer.

Exemple : une machine lance une balle dans une direction. Après chaque lancer, vous remettez la balle dans la machine. Dans tous les cas, la balle arrive dans l’un des trois champs de même taille. Les champs sont étiquetés avec les chiffres 1, 2 et 3. Quelle est la probabilité que la balle atterrisse au moins une fois dans le champ 1 lorsque vous lancez la balle quatre fois ? La machine a trois possibilités pour atteindre le champ 1 par lancer. Dans deux des trois possibilités, la balle touche un autre terrain. La probabilité de ne pas toucher le champ 1 lors du quadruple lancer est de 2 * 2 * 2 * 2 = 16. 81 possibilités au total existent pour cette tentative 3⁴

La contre-probabilité (16 sur 81) doit maintenant être ajoutée à la probabilité d’atteindre le champ 1, à partir de 1. 16/81 65/81, ce qui signifie que la probabilité d’atteindre 1 est de 0,8 (arrondi), soit 80 pour cent.

Retournez à la tentative d’ordre sans la remettre en place. Allons chercher un parterre de fleurs. Un jardinier veut planter six fleurs dans l’un des six trous creusés. Après mûre réflexion, il conclut qu’il plantera les fleurs dans n’importe quel trou sans trop y penser et ne réfléchit pas soigneusement à l’aspect de la plate-bande, qui est colorée lorsqu’elle fleurit.

Combien de possibilités de tri existe-t-il ? Notre expérience se déroule en six étapes. Si une fleur a été plantée, il ne reste plus que cinq fleurs. Si deux fleurs sont plantées, il en reste quatre à planter.

6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 possibilités. Chaque trou a la même probabilité d’être planté avec telle ou telle fleur 1/720.

Dans les expériences à n étapes (dans l’exemple de la fleur n = 6), nous trouvons le résultat avec la formule suivante :

n ! = n * (n – 1) * (n – 2) * …* 2 * 1

6 ! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

12 ! = 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Exception : 0 ! = 1